とある数学徒の雑記帳

数学の勉強してます。日々、気になったことを適当に書き綴っています。

最大の素数更新！

数学数論

最近、最大の素数が新たに更新されたそうで以下のブログでも紹介されています。

integers.hatenablog.com

今回の記事ではこの最大の素数に関連した話をしていこうと思います。

今回見つかった最大の素数

今回見つかった最大の素数は

$2^{74207281}-1$

という数でおよそ2千万桁の数字です。

メルセンヌ素数という $2^n-1$ という形で表される素数です。

メルセンヌ素数について

メルセンヌ素数について次の命題が成り立ちます。

(命題)　 $2^n-1$ が素数ならば $n$ も素数である.

(証明)　対偶「 $n$ が合成数ならば $2^n-1$ も合成数である.」を示す.
$n$ が合成数ならば，ある素数 $a$ と整数 $b$ を用いて $n=ab$ と分解できる.
このとき

$2^n-1=2^{ab}-1=(2^a)^b-1=(2^a-1)(2^{a(b-1)}+2^{a(b-2)}+ \dots + 2^a+1)$

と変形でき $a$ は素数であるから $a \geq 2$ なので $2^a-1$ は $1$ ではない.
よって $2^n-1$ は合成数である.

(証明終わり)

逆が成り立たないことは $2^4-1=15$ から分かります。

メルセンヌ素数と完全数について

完全数とは次のような数です。

(定義)約数の総和が元の数の2倍になっているとき,その数を完全数という.

完全数には次のような数があります。

(例)[完全数] $6,28,496,8128, \cdots$

メルセンヌ素数と完全数は次のような関係で結ばれています。

(命題) $2^n-1$ が素数ならば, $2^{n-1}(2^n-1)$ は偶数の完全数である. また偶数の完全数はこの形に限られる.

(証明) $2^n-1$ を素数とする. $2^{n-1}(2^n-1)$ の約数は,

$1,2, \cdots ,2^{n-2},2^{n-1},2^n-1,2(2^n-1), \cdots ,2^{n-1}(2^n-1)$

である.これらの和は,

$\displaystyle{\sum^{n-1}_{k=0}2^k + (2^n-1)\sum^{n-1}_{k=0}2^k}=2^n \sum^{n-1}_{k=0}2^k = 2^n(2^n-1)$

となり元の数の2倍となっている. したがって $2^{n-1}(2^n-1)$ は完全数である.

逆に $N$ を偶数の完全数とする. $n$ を自然数, $K$ を奇数とし, $N=2^{n-1}K$ とあらわす.

このとき $N$ の約数の総和 $S_N$ は $K$ の約数の総和 $S_K$ を用いて次のように表される.

$S_N=(2^n-1)S_K$

$N$ は完全数なので $S_N=2N=2^nK$ だから

$2^nK=(2^n-1)S_K$

が成り立つ. $2^n-1$ は奇数なので, $S_K$ は $2^n$ で割り切れる. $k$ を整数として

$S_K=2^nk$ とおき上式に代入すると

$2^nK=(2^n-1)2^nk$

これより, $K=(2^n-1)k$ が得られる.

$k \neq 1$ とすると, $1,k,(2^n-1)k$ は $K$ の約数となる.このとき

$S_K \geq 1+k+(2^n-1)k = 2^nk+1 =S_K+1$

となり矛盾する. したがって, $k=1$ であるから

$K=2^n-1$ であり, $S_K = 2^n$ であることから $K$ は素数である.

以上より偶数の完全数 $N$ は $N=2^{n-1}(2^n-1)$ と表される.

(証明終わり)

上で示したことからメルセンヌ素数と偶数の完全数は一対一に対応することが分かります！

すなわち、完全数を見つけるためにはメルセンヌ素数を見つければよいし、メルセンヌ素数を見つけるには完全数を見つければよいことが分かります。

未解決問題について

今回最大の素数として発見された素数はメルセンヌ素数ですが、このメルセンヌ素数は無限にあるかどうかわかっていません。すなわち偶数の完全数が無限に存在することもまだ証明されていません。

また、奇数の完全数も未だに発見されていません。

さらにさらに、約数の総和が元の数の2倍に1を足した数になる数を準完全数と言いますが、準完全数もまだ発見されていません。

このように、定義自体は簡単に理解できるものでも無限にあることやそもそも存在が分かっていない数が他にもたくさんあります。改めて数の不思議さや奥深さというのを感じさせられます。

それでは今日はこの辺で。