三角数かつ平方数

この記事では代数的整数の使いどころを紹介します。

タイトルにある通り三角数であり平方数である数はどんな数かという問題を考えていきます。

三角数とは

平方数についてはある自然数の２乗で表すことができる数ですが三角数とはどのような数でしょうか。三角数とは次のような数です。

[三角数]
ある自然数 $n$ を用いて, $\displaystyle{\frac{n(n+1)}{2}}$ と表される数を三角数という.

例[三角数]

$1, 3, 6, 10, \dots$ は三角数である.

三角数の名前の由来ですが, 三角形のように石を並べる時の石の総数だからです。

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本題に入って, 三角数かつ平方数である数を求めてみようと思います。自然数 $n, m$ を用いて, 三角数は $\displaystyle{\frac{n(n+1)}{2}}$ , 平方数は $m^2$ と表すことができます。これらが等しくなるような $n, m$ を求めればよいので次の方程式の自然数解を求めればよいことになります。

$\displaystyle{\frac{x(x+1)}{2}} = y^2$

この式を眺めていても解は見えてこないので変形していきます。

$\begin{align*} \displaystyle{\frac{x(x+1)}{2}} &= y^2 \\ x^2 + x &= 2y^2 \\ 4x^2 + 4x &= 2(2y)^2 \\ (2x+1)^2 - 2(2y)^2 &= 1 \\ \end{align*}$

$X =2x+1, Y = 2y$ とおけば, 方程式 $X^2-2Y^2 = 1$ が得られます。

よって, この方程式の自然数解を求めればよいことになります。

適当に数を当てはめてみて計算すると $X=3, Y=2$ が解であることが分かります。この解は $n=1,m=1$ の場合に対応していて, 1は三角数かつ平方数ということになります。

それでは、他に解はあるでしょうか。詳しいことはあとにして $X=A,Y=B$ を解とするとき, $X=A^2+2B^2, Y=2AB$ も解になっていることが簡単な計算により分かります。よってすでに答えが１組見つかっているのでそこから計算すると $(X,Y) = (17,12),(577,408),\dots$ が解になっていることが分かります。これらの解は $(n,m) = (8,6),(288,204), \dots$ の場合に対応しています。