代数的整数論のこと(未完) - とある数学徒の雑記帳

代数的整数論をこれから何本かの記事にわたって紹介していこうと思います。

雰囲気をつかむ感じであまり難しいことは書いていきません。歴史とか人とかキーワードとかまとめていきたいと思います。

この記事にリンクを貼っていき内容を深めていく予定です。更新頻度も未定ですし、内容も大したことない可能性もあるのであまり期待せず読んでもらえれば幸いです。

※テキトーに調べてるので不正確な部分があるかも知れません。とりあえず雰囲気を感じていきましょう。

代数的整数論とは
- 代数的整数ってなに？
- 考える意味は？
登場人物
キーワード
参考文献

代数的整数論とは

代数的整数論は「代数的整数」論であり「代数的」整数論ではありません。整数の問題を解くために代数的整数というものの性質を明らかにしていく分野が代数的整数論になります。

代数的整数ってなに？

それでは代数的整数とは何なのでしょうか？定義は次のようになります。

[代数的整数]
$L$ を有理数体 $\mathbb{Q}$ の有限次拡大体とする. 整数環 $\mathbb{Z}$ の $L$ の中での整閉包を $\mathfrak{o}_L$ とする.

$\mathfrak{o}_L$ の元を $L$ の代数的整数という.

いきなり定義を見せられてもよく分からないと思います。そこで具体例を挙げます。

[代数的整数の例]
$L=\mathbb{Q} \lbrack \sqrt{-1} \rbrack$ とする. $L$ の整数環 $\mathfrak{o}_L$ は $\mathbb{Z} \lbrack \sqrt{-1} \rbrack$ である. すなわち $L$ の代数的整数は $a, b$ を整数としたとき, $a+b\sqrt{-1}$ と表せる数である.