数論 方程式の整数解

タイトルで数論と書きましたが、初歩の初歩です。

○2つの平方数の和で表される素数は2を除いて4で割って1余る。

例えば、5=1^2+2^2  13=2^2+3^2  とかですね。

ちなみに逆も成り立ちます。

○4で割って1余る素数は2つの平方数の和で表される。

事実だけ聞くとそれが何の役に立つのという感じがしますが、これは方程式の話に関連してきます。

pを素数とするときに、方程式x^2+y^2=pが整数解を持つか持たないかがpを4で割った余りで判別できるということを上のことは主張しています。

代数学では方程式を解くことを調べるのもそうですが、整数解や有理数解を持つか持たないのか、持つとすればそれは有限個なのか無限個なのかということも調べます。

最初に挙げた例ではpを少し調べるだけで方程式の解の様子がすぐにわかってしまいます。

それではx^2+2y^2=pではどうでしょうか。またはx^2-3y^2=pもどうでしょうか。

とても難しいものですとx^3+y^3=z^3に整数解はあるでしょうか？(フェルマーの最終定理のn=3のバージョンです)

上の例のように簡単なものもあれば一筋縄ではいかないものもたくさんあります。こういう問題を扱っていくのも数論です。

実際に計算をして確かめることはできてもいざ証明しようとなると難しいものがありますが、それらを調べていくと様々な数の間には美しい構造が隠れており、それはそれは素晴らしいものです。

思いついたままに書いたので整理されてなくて分かりにくかったと思いますが、数論に興味を持っていただければ幸いです。

それではまた。