とある数学徒の雑記帳

数学の勉強してます。日々、気になったことを適当に書き綴っています。

一変数多項式環

{ \displaystyle \mathbb{C} } [ { \displaystyle T } ] := { { \displaystyle a_0+a_1 T+ \cdots + a_n T^n \mid n \geq 0, a_0, \dots ,a_n \in \mathbb{C}} }

を複素係数一変数多項式環といいます。これは整数とそっくりな性質があります。

例えば、

①環である 整数と同じように足し算、引き算、掛け算はできますが、割り算はできません

②余りの概念がある 割り算はできませんが余り付きの割り算はできます

③素数と同様な概念がある 既約多項式は整数でいうところの素数と同じものになります

複素数全体の集合は代数閉体ですので、既約多項式はモニックな一次式で表すことができます

一変数多項式環にはフェルマーの最終定理の類似があります。これはフェルマーの最終定理が証明される前に証明されました。

一変数多項式を考えることは整数の問題を考えるのに大変有意義だそうです。

類体論

数学
年末は類体論の勉強をしていこうと思います。

とりあえず、今知っていることをまとめておきます。


体を拡大したときにどんな素数が分解するか判定できる。
逆に、特定の素数が分解する体がどんな体か求めることができる。

これらはアーベル拡大ならよくわかっているが、非可換な拡大ではまだ完全にわかっていない。


ゆっくり勉強していこうと思います。

数式入力、イデアル

数学

はてなブログで数式の入力ができるそうなので少しテストします.

{ \displaystyle Kを代数体, O_{K}をKの整数環とする. }

きれいに表示されているでしょうか?

\displaystyle \sum_{k=1}^{N} a_k

まだまだ記法に慣れていないので少しずつ練習していきます。

話は変わって、

最近イデアルについて勉強しました。このまま代数的整数論の分野やさらに進んで類体論の理解ができればよいと思ってます。

整数論はやっぱり面白いですね。

それではこの辺で

数論　方程式の整数解

数学

タイトルで数論と書きましたが、初歩の初歩です。

 

○2つの平方数の和で表される素数は2を除いて4で割って1余る。

 

例えば、5=1^2+2^2  13=2^2+3^2  とかですね。

ちなみに逆も成り立ちます。

 

○4で割って1余る素数は2つの平方数の和で表される。

 

事実だけ聞くとそれが何の役に立つのという感じがしますが、これは方程式の話に関連してきます。

 

pを素数とするときに、方程式x^2+y^2=pが整数解を持つか持たないかがpを4で割った余りで判別できるということを上のことは主張しています。

 

代数学では方程式を解くことを調べるのもそうですが、整数解や有理数解を持つか持たないのか、持つとすればそれは有限個なのか無限個なのかということも調べます。

 

最初に挙げた例ではpを少し調べるだけで方程式の解の様子がすぐにわかってしまいます。

 

それではx^2+2y^2=pではどうでしょうか。またはx^2-3y^2=pもどうでしょうか。

とても難しいものですとx^3+y^3=z^3に整数解はあるでしょうか？(フェルマーの最終定理のn=3のバージョンです)

上の例のように簡単なものもあれば一筋縄ではいかないものもたくさんあります。こういう問題を扱っていくのも数論です。

 

実際に計算をして確かめることはできてもいざ証明しようとなると難しいものがありますが、それらを調べていくと様々な数の間には美しい構造が隠れており、それはそれは素晴らしいものです。

 

思いついたままに書いたので整理されてなくて分かりにくかったと思いますが、数論に興味を持っていただければ幸いです。

 

それではまた。

数論

数学

 普段、勉強している数学について書こうと思います。

 

専門は代数学で今は数論に興味があります。数論は文字通り数についての理論です。具体的にいえば、素数が二つの平方数の和に表示できる条件は4で割った時に余りが1の時に限るなど数についての性質を探る分野です。

 

山本芳彦先生の数論入門はまさに数論の勉強を始めるのにうってつけの本だと思います。

数論入門 (現代数学への入門)

数論入門 (現代数学への入門)

 

お勧めできる点はまず具体例が豊富であることです。数学をやっていると、一般的に成り立つことばかりで具体的にどういう値で成り立っているのか分からないことが多々あります。

 

例えば、平方剰余や多項式の因数分解です。きれいな法則がたくさんあり、具体的に確認することも容易なのでとても好きな分野です。主張が複雑でない割に証明しようとするととても難しいという点も好きな理由の一つです。

 

有名な定理にフェルマーの最終定理がありますがこれも数論の定理です。双子素数が無限に存在することやゴールドバッハの予想、コラッツの予想、など容易に理解でき、小学生でも計算ができますが証明はどこから手を付けてよいのかすらわかっていない問題も多くあります。

 

これからもっともっと勉強してある程度まとまったらこのブログにも書いていくかもしれません。

 

それではまた。

 

 

層・圏　順極限

数学 日記

順極限とか逆極限とか層・圏の理論で出てくる言葉がはじめて出会う言葉ばかりで理解するのがなかなか大変。

 

新しいことを学ぼうとしているのに、説明される言葉がよくわからない。数学ではよくあることだが、そのせいで学習にとても時間がかかるのはなかなかフラストレーションが溜まる。

 

やりたいことは山ほどあるのに時間が足りないから焦る。

だけどゆっくりじっくり向き合っていかなければ数学は理解できない。

 

焦らず落ち着いて数学していこう。

 

 

数学の学びかた

数学

数学の学び方という本を今読んでいる。

 

様々な数学者がいかに数学を学んできたかについて書かれている本だ。

数学的に興味深いこともいろいろ書いてある。

例えばハイネ・ボレルの定理とか熱核とかフーリエとか正規分布とか。

 

まだ全部読んでないからまとめられないですが、数学に対するモチベーションが上がる本です。

 

全部読み終わったら、また感想でもまとめますか。